Плотные линейно упорядоченные множества
Рассмотрим сигнатуру, содержащую отношения порядка и равенства. Рассмотрим теорию плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента, которая включает в себя следующие аксиомы:
- аксиомы равенства (в том числе сохранение порядка при замене элементов на равные);
- (рефлексивность порядка);
- (транзитивность порядка);
-
(антисимметричность порядка);
-
(линейность порядка);
- (нет максимального элемента; можно считать сокращением для
или для — при наличии остальных аксиом это одно и то же);
- аналогичная аксиома про отсутствие минимального элемента;
-
(плотность).
Рациональные числа образуют счетную модель этой теории, а действительные — несчетную. Как мы уже упоминали, эта теория категорична в счетной мощности, все ее счетные нормальные модели изоморфны. Отсюда по теореме 65 получаем, что она полна. Следовательно, в ней выводятся все истинные в (или в любой другой модели, в частности, в ) формулы ее сигнатуры (в самом деле, из формул и ровно одна истинна и ровно одна выводима, и выводимая формула должна быть истинной). Наконец, по теореме 67 эта теория разрешима.
Другое доказательство тех же фактов дает элиминация кванторов (теорема 30). Как мы отмечали в разделе "Элиминация кванторов", для каждой формулы нашей сигнатуры существует бескванторная формула , эквивалентная в любой нормальной интерпретации теории плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элементов. Поэтому эквивалентность (с кванторами всеобщности) является теоремой этой теории. Если формула была замкнутой, то формула будет тождественно истинной или тождественно ложной. В первом случае в теории выводима формула , во втором случае — ее отрицание. Следовательно, теория полна.
Сказанное можно интерпретировать и так: мы доказали конечную аксиоматизируемость теории , предъявив список аксиом.
119. Покажите, что эта теория не является категоричной в мощности континуум.
Отсюда следует (по теореме Морли), что теория плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента не будет категоричной ни в какой несчетной мощности.
120. Не используя теоремы Морли, укажите примеры неизоморфных плотных линейно упорядоченных множеств заданной несчетной мощности.
121. Покажите, что элементарные теории и конечно аксиоматизируемы, полны и разрешимы. Будут ли они категоричными в мощности континуум?
122. Рассмотрим теорию плотных линейно упорядоченных множеств (не добавляя аксиом про наименьший и наибольший элемент). Будет ли она категорична в какой-либо мощности? полна? разрешима?
